群

适于快速回忆的笔记，不包含证明。

写在前面：

我实在不知道我当时为什么写这篇笔记，跟抄书似的，感觉实在没什么用又浪费精力。仅此一篇后续章节不补了。 抽象代数这门课开在大二实在太早了，我感觉我整个学习过程一直都是在“理解概念”，“使用定义”，可能是我的水平不足吧。 以后再写笔记，最好要么写成“教程”的形式，要么写出“我的理解”，写成问答的形式。这篇就这样吧。

2.1 群的定义和初步性质

第一个问题是：群是什么东西？定义是什么？

定义1 如果非空集合G有代数运算 ∘ 满足以下条件：
1. 结合律成立：即对G中的任意元素a，b，c都有 \[(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)\] 2. G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a，都有
\[e ∘ a = a\] 3. 对G中的每个元素a，在G中都有元素\(a^{-1}\)，叫做a的左逆元，使 \[a^{-1} ∘ a = e\] 则称G对这个代数运算作成一个群

这个定义并不是唯一的定义方法。其中三点可以分别总结为：
0. 是代数运算； 1. 结合律成立；2. 左单位元存在；3. 左逆元存在。

在群中，结合律是必须满足的，但是交换律是可选的。对于满足交换律的群，称作交换群（可换群）或Abel群；否则称为非交换群（非可换群）或非Abel群。

由这个定义可见，对于群来说不仅要注意其中含有什么样的元素，更要注意这些元素之间的代数运算是什么。在不致混淆的前提下，为了方便常将群的代数运算叫做“乘法”。

从元素的数量上来看，如果一个群中只包含有限个元素，则称为有限群，否则称为无限群。将群中所含元素的个数称作群的阶，记为|G|，对于无限群，群的阶称为无限。

下面来讨论群的一些基本性质。

定理1 群的左单位元也是右单位元，并且是唯一的。 定理2 群G中的元素a的左逆元\(a^{-1}\)也是a的右逆元，并且是唯一的。

从这里可以看出，群的单位元和逆元都是唯一的，左单位元，右单位元，单位元三者之间可以互相推得。

推论1 在群中消去律成立，即 \[ab=ac \implies b=c\] \[ba=ca \implies b=c\]

这个推论的证明是显然的，因为只需在左右两边乘以其逆元即得。

下面介绍一种同群有密切的关系但比群更广泛的代数系统。

定义2 设S是一个非空集合。如果它有一个代数运算满足结合律，则称S是一个半群。 如果半群S中有元素e，它对S中的任意元素a都有 \[ea=a\] 则称e为半群S的一个左单位元；如果在S中有元素e'，它对S中的任意元素a都有 \[ae'=a\] 则称e'为S的一个右单位元。
如果半群S中有单位元（既是左单位元又是右单位元），则称S为有单位元的半群，或简称幺半群。

半群与群的区别在于半群不要求单位元和逆元。在半群中可能只存在左单位元或右单位元，或者二者同时存在或同时不存在。但是，如果既有左单位元又有右单位元，则二者必相等，它就是半群的唯一的单位元。

本节最后介绍一个定理，它实际上是群定义的另一种形式。

定理3 设G是一个半群，则G作成群的充要条件是，对G中的任意元素a，b，方程 \(ax=b\)，\(ya=b\) 在G中都有解。

显然，解是唯一的。

推论2 有限半群G作成群的充要条件是，在G中两个消去律成立。

在这个推论中，要求半群G有限是必要的，对于无限半群G来说并不成立，例如正整数集对乘法作成半群，消去律也成立，但显然并不作成群。

可能你会有疑惑，对于有限半群和无限半群来说为什么会出现这种现象？其本质区别是什么？这里引用一段回答：

有限性是一个重要的限制条件。在有限集上，如果消去律成立，我们可以通过组合有限个元素推出每个元素的逆元、单位元等结构。但在无限集上，消去律并不强制这些性质成立，因为无限集允许更加复杂的行为模式，例如半群中可能有无限多个元素之间相互独立，无法通过有限步推导出单位元或逆元。

因此，本质上的区别在于：有限性限制了可能的行为，使得消去律足够强，能推出群的结构；而在无限集上，消去律不再足够强，不能单独保证单位元和逆元的存在。

最后，如果一个交换群G的代数运算用加号“+”表示，我们常称其为一个加群。这时的单位元改用0表示，并称为G的零元；元素a的逆元用-a表示，并称为a的负元。而在一般情况下，今后讨论抽象群时，其代数运算不管是否满足交换律，仍用通常的乘号表示或省略这个乘号，并仍称为乘法。

2.2 群中元素的阶

在上一节中，介绍了群的阶。这里将给出群中元素的阶的定义。

定义1 设a为群G的一个元素，使 \[a^n=e\] 的最小正整数n，叫做元素a的阶。如果这样的n不存在，则称a的阶为无限。元素a的阶常用|a|表示。

由此可知，群中单位元的阶是1，而其他任何元素的阶都大于1。

定理1 有限群中每个元素的阶均有限。

应该注意，无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，甚至可能每个元素的阶都有限。

定义2 若群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群；若G中除单位元e外，其余元素的阶均无限，则称G为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群。

从定义中我们知道，有限群都是周期群。在看到这个定义时，你可能感觉“无扭”这个词很奇怪，实际上，“循环”可以被视为一种“扭转”或“扭曲”的行为。

定理2 设群G中元素a的阶是n，则 \[a^m=e \iff n|m\]

根据定义，这个定理是显然成立的，即m是n的整数倍。

定理3 若群中元素a的阶是n，则 \[|a^k|=\frac{n}{(k，n)}\] 其中k为任意整数，(k，n)为k与n的最大公因数。

由定理3显然可得二推论。

推论1 在群中若\(|a|=st\)，则\(|a^s|=t\)，其中s，t是正整数。

推论2 在群中若\(|a|=n\)，则 \[|a^k|=n \iff (k，n)=1\]

定理4 若群中元素a的阶是m，元素b的阶是n，则当\(ab=ba\)且\((m,n)=1\)时，有\(|ab|=mn\)，即\(|ab|=|a|・|b|\)

这个定理说明在特定条件下，两个元素的乘积的阶等于这两个元素的阶的乘积。需要注意的是，这里要求\(ab=ba\)。当\(ab \neq ba\)时，a与b的乘积会出现各种情况。一般来说，一个群G的全体有限阶元素对G的乘法并不封闭。至于定理中条件\((m，n)=1\)，则是明显必要的，因为易知群中任何元素a与其逆元\(a^{-1}\)有相同的阶，但其乘积e的阶则是1。

下面再介绍交换群中元素阶的一个性质。

定理5 设G为交换群，且G中所有元素有最大阶m，则G中每个元素的阶都是m的因数。从而群G中每个元素均满足方程\(x^m=e\)。

这个定理表明，交换群中每个元素的阶都是它的最大阶的因数。“交换群”这一条件是必要的。

2.3 子群

首先还是来看一下子群的定义，跟集合与子集的关系有些相似。

定义1 设G是一个群，H是G的一个非空子集。如果H本身对G的乘法也作成一个群，则称H为群G的一个子群。

如果|G|>1，则群G至少有两个子群，一个是只由单位元e作成的子群{e}（以后常简记为e），另一个是G本身。这两个子群称为群G的平凡子群。别的子群，如果存在的话，叫做群G的非平凡子群或真子群。

当H是群G的子群时，简记为 H≤G；若H是G的真子群，则简记为H<G。

下面来看两条定理。

定理1 设G是群，H≤G，则子群H的单位元就是群G的单位元，H中元素a在H中的逆元就是a在G中的逆元。

定理2 群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是 \[a,b \in H \implies ab \in H\] \[a,b \in H \implies a^{-1} \in H\]

通过定理2可知，判断群的一个子集是不是作成子群，不必验证群定义中的所有条件。这里还可以将定理2中的两个条件合并成一个条件得到下面的定理。

定理3 群G的非空子集H作成子群的充要条件是 \[a,b \in H \implies ab^{-1} \in H\]

由于消去律在群G中成立，自然也在其子集H中成立。所以可知，群G的有限子集H作成子群的充要条件是，H对G的乘法封闭。这一点你可能在观察定理2时就注意到了。

定义2 令G是一个群，G中元素a如果同G中每个元素都可换，则称a是群G的一个中心元。

群G的单位元e总是群G的中心元，除e外可能还有别的中心元。若群G的中心元只有e，则称G为无中心群。显然，交换群的每个元素都是中心元。数域F上一般线性群\(GL_n(F)\)除去单位元外还有别的中心元（例如标量矩阵），但当n>1时显然也有非中心元。

定理4 群G的全体中心元作成的集合C(G)是G的一个子群，称为群G的中心。

群G的中心显然是G的一个交换子群，又显然G是交换群当且仅当C(G)=G。群G的中心在不发生混淆的时也常简记为C。

定义3 设A，B是群G的任二非空子集，规定 \[AB=\{ab|a \in A, b \in B\}\] \[A=\{a|a \in A\}\] 并分别称AB为A与B的乘积，\(A^{-1}\)为\(A\)的逆。

由此可以得到，对群的任意三个非空子集A，B，C均有 \[(AB)C=A(BC)\] \[A(B \bigcup C) = AB \bigcup AC\] \[{AB}^{-1}=B^{-1}A^{-1}\] \[(A^{-1})^{-1}=A\]

另外，由定理2和定理3可直接得到以下两个推论

推论1 设H是群G的一个非空子集，则 \[H≤G \iff HH=H \quad 且 \quad H^{-1}=H\]

推论2 设H是群G的一个非空子集，则 \[H≤G \iff HH^{-1}=H\] 特别地，若H是群G的一个非空有限子集，则 \[H≤G \iff HH=H\]

对于定理5，之后将会看到，一个群的两个子群的乘积一般不再是子群，但在一定条件下可以是子群。

定理5 设H，K是群G的两个子群，则 \[HK≤G \iff HK=KH\]

\(HK=KH\)是指两个集合的相等，并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘时可以交换。当然，对于交换群则另当别论。交换群的二子群之积必仍为子群。

2.4 循环群

循环群是一种被完全解决的群。下面记\(<\\M>\)表示G中包含M的一切子群的交。显然\(<\\M>\)必为G的一个子集，它是G中包含M的最小子集。

定义1 称\(<\\M>\)为群G中由子集M生成的子群，并把M叫做这个子群的生成系。
一个群或子群可能有很多的生成系，甚至可能有无限多个生成系。集合M中的元素可以是无限个，也可以是有限个。当 \[M=\{a1,a2,…,an\}\] 时，把\(<\\M>\)简记为\(<\\a1,a2,…,an>\)。特别的，当\(M=\{a\}\)时，则记作 \[<\\M>=<\\a>\]

定义2 如果群G可以由一个元素a生成，即\(G = <\\a>\),则称G为由a生成的一个循环群，并称a为G的一个生成元。
于是，\(<\\a>\)是由一切形如 \[a^k \quad (k是任意整数)\] 的元素生成的子群，亦即 \[<\\a>=\{...,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,a^3,...\}\] 易知，循环群必是交换群。
若群的代数运算用加号表示，则指数应变成倍数，从而由a生成的循环群应表示为 \[<\\a>=\{...,-3a,-2a,-a,0,a,2a,3a,...\}\]

定理 1 设 \(G = \langle a \rangle\) 为任一循环群，则： 1. 当 \(|a| = \infty\) 时，\(G = \langle a \rangle = \{ \cdots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \cdots \}\) 为无限循环群，且与整数组群 \(\mathbb{Z}\) 同构； 2. 当 \(|a| = n\) 时，\(G = \langle a \rangle = \{ e, a, a^2, \cdots, a^{n-1} \}\) 为 \(n\) 阶循环群，且与 \(n\) 次单位根乘法群 \(U_n\) 同构。

这个定理是在说，所有的无限循环群彼此同构，有限同阶循环群彼此同构，不同阶的群显然不同构。在同构意义下，循环群只有两种：整数加群和n次单位根乘法群（这里的n是任意正整数）。

推论1 n阶群G是循环群\(\iff\)G有n阶元素

定理2 无限循环群 \(\langle a \rangle\) 有两个生成元，即 \(a\) 与 \(a^{-1}\)；\(n\) 阶循环群有 \(\varphi(n)\) 个生成元，其中 \(\varphi(n)\) 为 Euler(欧拉) 函数。

Euler函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目，但是在这里具体表达说明意义需要进一步说明。

最后讨论循环群的子群。

定理3 循环群的子群仍为循环群。

通过这个定理可以知道循环群的子群的性质：必为循环群。

定理4 无限循环群 \(G = \langle a \rangle\) 有无穷多个子群；当 \(G = \langle a \rangle\) 为 \(n\) 阶循环群时，对 \(n\) 的每个正因数 \(k\)，\(G\) 有且只有一个 \(k\) 阶子群，这个子群就是 \(\langle a^{\frac{n}{k}} \rangle\)。

通过这个定理可以知道循环群的子群的性质：无限循环群有无穷多个子群，对n阶循环群的k阶子群唯一确定。

推论2 n阶循环群有且仅有T(n)个子群。

n的标准分解式为\(n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}...p_r^{k_r}\)，其中\(p_i\)为素数，\(k_i\)为正整数，由此得到\(T(n)=(k_1+1)(k_2+1)...(k_r+1)\)

2.5 变换群

定义1 设M是一个非空集合。则由M的一些变换关于变换的乘法所作成的群，称为M的一个变换群；由M的若干个双射变换关于变换的乘法作成的群，称为M的一个双射变换群；由M的若干个非双射变换关于变换的乘法作成的群，称为M的一个非双射变换群。

前面提到过，非空集合M的全体变换关于变换的乘法作成一个半群。这里先定义了一下这个变换群。

定理1 设 \(M\) 为任一非空集合，\(S(M)\) 为由 \(M\) 的全体双射变换所构成的集合。则 \(S(M)\) 关于变换的乘法构成一个群。

因为M是一个半群，满足代数运算以及结合律，故只需证明其存在单位元（恒等变换）以及逆元（双射变换的逆变换也是双射变换）存在即可。

定义2 称集合 \(M\) 的双射变换群 \(S(M)\) 为 \(M\) 上的对称群。当 \(|M| = n\) 时，其上的对称群记为 \(S_n\)，并称为 \(n\) 元对称群。

这是对称群的定义，不要过于纠结名称问题。前面叙述过，n元对称群 \(S_n\) 是一个阶为 \(n!\) 的有限群。

定理2 设 \(G\) 是集合 \(M\) 的一个变换群，则
\(G\) 是双射变换群 \(\iff G\) 含有 \(M\) 的单射变换。

推论1 设 \(G\) 是集合 \(M\) 的一个变换群，则
\(G\) 是双射变换群 \(\iff G\) 包含恒等变换。

因为非双射变换不能包含任何双射变换，同时又由定理2知道非双射变换连任何的单射和满射都不能包含，说明在变换群中，双射变换群与非双射变换群是完全对立的。

故如果|M|>1，则T(M)必不可能构成群。

最后建立抽象群同变换群之间的联系。

定理3(A.Cayley) 任何群都同一个（双射）变换群同构。

由此得到下面的推论。

推论2 任何n阶有限群都与n元对称群\(S_n\)的一个子群同构。

2.6 置换群

定义1 n元对称群 \(S_n\) 的任一个子群，都叫做一个n元置换群，简称置换群。

置换群是一类重要的非交换群，由上节知道，每个有限抽象群都与一个置换群同构。

定义2 一个置换如果把某些数码 \(i_1,i_2,...,i_k\) 变成 \(i_2,i_3,...,i_k,i_1\)，但别的数码（如果还有的话）都不变，则称这个置换为一个 k-轮换（循环）置换，简称为 k-轮换（循环）或轮换（循环），并表示成
\[\sigma=(i_1 i_2 \cdots i_k)=(i_2 i_3 \cdots i_k i_1)=...(i_k i_l \cdots i_{k-1})\]

把恒等置换命名为 1-轮换，2-轮换简称为对换，无公共数码的轮换为不相连轮换。

定理1 不相连轮换相乘时可以交换。

定理2 每个（非轮换）置换都可表示为不相连轮换之积，每个轮换都可表示为对换之积。因此，每个置换都可表示为对换之积。

对换分解有很多种，但是奇偶性是不变的。

定理3 每个置换表示成对换的乘积时，其对换个数的奇偶性不变。

定义3 一个置换若分解成偶数个对换的乘积，则称为偶置换；否则称为奇置换。

特别，恒等置换是偶置换。

关于置换的阶，有如下判别方法。

定理4 k-轮换的阶为 k，不相连轮换乘积的阶为各因子的阶的最小公倍数。

定理5 设有 \(n\) 元置换 \(\tau = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{matrix} \right)\)，则对任意 \(n\) 元置换 \(\sigma\)，有
\[\sigma \tau \sigma^{-1} = \left( \begin{matrix} \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\ \sigma(i_1) & \sigma(i_2) & \cdots & \sigma(i_n) \end{matrix} \right).\]

2.7 陪集、指数和Lagrange定理

定义1 设 $ H $ 是群 $ G $ 的一个子群，$ a G $，则称群 $ G $ 的子集
\[ aH = \{ ax \mid x \in H \} \] 为群 $ G $ 关于子群 $ H $ 的一个左陪集，而称
\[ Ha = \{ xa \mid x \in H \} \] 为群 $ G $ 关于子群 $ H $ 的一个右陪集。

不管是左陪集还是右陪集，它们都是群的一种特殊的子集。左陪集可以证明有如下重要性质。 >1. $ e aH $ >2. $ a H aH = H $ >3. $ b aH aH = bH $ >4. $ aH = bH $，即 $ a $ 与 $ b $ 同在一个左陪集中 $ a^{-1}b H $（或 $ b^{-1}a H $）。 >5. 若 $ aH bH $，则 $ aH = bH $。

如果 $ H $ 在群 $ H $ 中的所有不同的左陪集，则有等式
\[ G = aH \cup bH \cup cH \cup \dots \] 称其为群 $ G $ 关于子群 $ H $ 的左陪集分解，而称 $ { a, b, c, } $ 为 $ G $ 关于 $ H $ 的一个左陪集代表系。

应注意，子群 $ H $ 本身是群 $ G $ 的一个左陪集，但 $ G $ 的任何其他关于子群 $ H $ 的陪集都不包含单位元，当然都不是 $ G $ 的子群。

同样可讨论群的右陪集和右陪集分解。应注意，性质 4) 对于右陪集应改为
\[ Ha = Hb \iff ab^{-1} \in H (\text{或 } ba^{-1} \in H). \]

群 $ G $ 的左陪集和右陪集有以下关系：

定义2 设 $ H $ 是群 $ G $ 的一个子群，又令
\[ L = \{ aH \mid a \in G \}, \quad R = \{ Ha \mid a \in G \} \] 则在 $ L $ 与 $ R $ 之间存在一个双射，从而左、右陪集的个数或者都是无限，或者都是有限且相等。

由证明可知，由群 $ G $ 的左陪集分解
\[ G = aH \cup bH \cup cH \cup \dots \] 可以得到群 $ G $ 的一个相应的右陪集分解：
\[ G = Ha^{-1} \cup Hb^{-1} \cup Hc^{-1} \cup \dots \] 这就是说，当 $ { a, b, c, } $ 是 $ G $ 关于子群 $ H $ 的一个左陪集代表系时，$ { a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}, } $ 仍然是 $ G $ 关于子群 $ H $ 的一个右陪集代表系。

定义2 群 $ G $ 中关于子群 $ H $ 的互异的左（或右）陪集的个数，叫做 $ H $ 在 $ G $ 里的指数，记为
\[ (G:H). \]

关于子群的阶、指数和群的阶之间，存在着如下极其重要的关系。

定理 2（J. L. Lagrange） 设 $ H $ 是有限群 $ G $ 的一个子群，则
\[ |G| = |H| (G:H), \] 即
\[ (G:H) = \frac{|G|}{|H|}. \] 从而任何子群的阶和指数都是群的阶的因数。

推论1 有限群中每个元素的阶都整除群的阶。

由此推论显然可得：素数阶群必为循环群。

子群的指数还有下述重要的基本关系。

定理3 设 $ G $ 是一个有限群，又 $ K H G \(，则\)$ (G:H)(H:K) = (G:K). $$

关于 $ H $ 和 $ H $ 关于 $ K $ 的左陪集代表系时，可以证明

\[ AB = \{ ab \mid a \in A, b \in B \} \]

是 $ G $ 关于 $ K $ 的一个左陪集代表系。因此，$ (G:K) $ 无限当且仅当 $ (G:H) $ 与 $ (H:K) $ 至多有一个是无限的。这种情况在代数中也可以认为公式（2）是正确的。

作为一个更具实际的应用，我们来证明以下定理。

定理4 设 $ H,K $ 是群 $ G $ 的两个有限子群，则
\[ |HK| = \frac{|H| \cdot |K|}{|H \cap K|} \]

应注意的是，尽管有以上等式，但乘积 $ HK $ 仍然不一定是子群。又当 $ H,K $ 不是子群时，等式（3）一般不再成立。

由此定理可知，当且仅当子群 $ H $ 与 $ K $ 的交是单位元时有
\[ |HK| = |H| \cdot |K|. \]

推论2 设 $ p,q $ 是两个素数且 $ p < q $，则 $ pq $ 阶群 $ G $ 最多有一个 $ q $ 阶子群。

以后将知道，这样的群必有一个 $ q $ 阶子群，从而这样的群有且仅有一个 $ q $ 阶子群。

由此推论6，群最少有一个 3 阶子群（实际上是有且仅有一个 3 阶子群），10 与 15 阶群最多有一个 5 阶子群（实际上也是有且仅有一个 5 阶子群）。等等。

另外，尽管某种群的 $ p $ 阶子群有且仅有一个，然而其 $ p $ 阶子群却可能有很多个。例如，$ |S_3| = 2 $，但三元对称群 $ S_3 $ 的 2 阶子群却有三个。

*2.8 群在集合上的作用

略